تولید سه گانه

الیوت از مدرسه ویلسون از یک صفحه گسترده برای پیدا کردن مجموعه های سه گانه که در آن هیپوتنوز 1 ، 2 ، 3 و 4 واحد بزرگتر از یکی از طرف های دیگر است ، استفاده کرد. او روش خود را توضیح می دهد:

اگر هر عدد را مربع می کنید ، یک مربع را از مربع بیشتر از آن جدا کنید ، سپس این تعداد را ریشه مربع کنید ، می توانید سه گانه فیثاغور را پیدا کنید. اگر نتیجه یک عدد کامل باشد ، دو عدد و شماره ریشه مربع یک سه گانه فیثاغور را تشکیل می دهند.

به عنوان مثال ، $ 24^2 = 576 $ و 25 $^2 = 625 $. 625-576 $ = 49 = 7^2 $ ، بنابراین $ (7 ، 24 ، 25) $ یک سه گانه فیثاغور را تشکیل می دهد.

مربع اول ، هنگامی که هیپوتنوز یکی بیشتر از طرف دیگر است ، همیشه عجیب است و هر بار دو بار افزایش می یابد.

$ 9^2 + 40^2 = 41^2 $ 11^2 + 60^2 = 61^2 $ 13^2 + 84^2 = 85^2 $

اگر به جای اینکه مربع را از مربع یکی بزرگتر از آن جدا کنید ، آن را از مربع دو بیشتر جدا می کنید ، می توانید سه گانه فیثاغورئی مشابه آلیسون را کار کنید.

به عنوان مثال ، 15 $^2 = 225 $ و 17 $^2 = 289 $.$ 289 - 225 = 64 = 8^2 $ SO $ (8 ، 15 ، 17) $ یک سه گانه فیثاغور را تشکیل می دهد.

شماره مربع اول همیشه یکنواخت است و هر بار دو بار افزایش می یابد.

$ 10^2 + 24^2 = 26^2 $ 12^2 + 35^2 = 37^2 $ 14^2 + 48^2 = 50^2 $

اگر هیپوتنوز سه نفر طولانی تر از یک طرف باشد ، کوتاهترین طرف هر بار 6 بار افزایش می یابد (از 3) به عنوان مثال. 3 ، 15 ، 21 ، 27 و غیره. اگر هیپوتنوز چهار واحد طولانی تر باشد ، کوتاهترین طرف هر بار به عنوان مثال افزایش می یابد. 4 ، 8 ، 12 ، 16 و غیره

مایکل از سنت پاتریک در استرالیا از روش زیر استفاده کرد:

همه سه گانه چارلی در آنها یک مربع یکنواخت است. با استفاده از آن ، Triples for Charlie 1^2 + 0^2 = 1^2 $ 3^2 + 4^2 = 5^2 $ 5^2 + 12^2 = 13^2 $ 7^2 + 24^است. 2 = 25^2 $ 9^2 + 40^2 = 41^2 $ 11^2 + 60^2 = 61^2 $ 13^2 + 84^2 = 85^2 $ الگویی وجود دارد. تعداد مربع کوچکتر ، عجیب و غریب همیشه توسط دو نفر افزایش می یابد. تعداد مربع بزرگتر و یکنواخت با چند برابر به ترتیب ، 4،8،12،16،20،24 و غیره افزایش می یابد. پاسخ همیشه یک عدد مربع بیشتر از بیشترین تعداد معادله خواهد بود. معادله بعدی در این الگوی 15^2+112^2 = 113^2 $ خواهد بود.$ 15^2 = 225 ، 112^2 = 12544 ، $ و 113 $^2 = 12769 $. 12544 $+225 = 12769 $.

توماس ، همچنین از سنت پاتریک کار خود را در مورد سه گانه فیثاغوریان آلیسون برای ما ارسال کرد:

هیپوتنوز دو واحد طولانی تر از یکی از طرف های دیگر است. آیا می توانید فرمولی برای تولید سه گانه فیثاغور مانند آلیسون پیدا کنید؟آیا می توانید ثابت کنید که فرمول شما کار می کند؟

سه نمونه ذکر شده عبارتند از: 4 ²+3 ² = 5 ² 6 ²+8 ² = 10 ² 8 ² 15 ² = 17 ² در اینجا الگویی (از چپ به راست) وجود دارد (از چپ به راست) شماره اول توسط 2. بالا می رود. شماره دوم با 5 تا 7 افزایش می یابد ، بنابراین فقط منطقی است که در معادله بعدی شماره دوم (15+9) = 24 باشد. شماره سوم دوباره 5 و سپس 7 افزایش می یابد تا شماره سوم (17+9) = 26 با استفاده از این اطلاعات می توانم این فرض دقیق را بیان کنم که معادله بعدی در خط خواهد بود. 10 ²+24 ² = 26. اکنون برای اثبات این ، 10 ² = 100 و 24 ² = 576 SO 100+576 = 676. 26 ² = 676. دو معادله بعدی در خط 12 ²+35 ² = 37 ² 14 ²+48 ² = 50 ² خواهد بود

من نمی دانم که آیا می توانید توضیح دهید که چرا الگوهای مایکل و توماس سه گانه فیثاغور را تولید می کنند؟

ناتان از مدرسه راشور مشاهده کرد:

اگر $ x+x+1 = y^2 $ ، $ y ، x ، x+1 $ یک سه گانه فیثاغور را بسازید.

دو شماره کامل متوالی دریافت کنید که به یک شماره مربع اضافه می شوند. به عنوان مثال ، 4 $ $ و 5 $ $ - 4+5 = 9 $ و $ sqrt9 = 3 3،4 $ و 5 یک سه گانه فیثاغور می سازند. 12 $ $ و 13 $ $ - 12 $+13 = 25 $ SQRT = 5 5،12 $ و 13 یک سه گانه فیثاغور. معکوس این است که هر شماره عجیب و غریب (X $ $) را بدست آورید و آن را مربع کنید. شماره مربع را نصف کنید و نصف را اضافه کنید و از آن استفاده کنید تا $ y $ و $ Z $ تهیه کنید.$ x ، y $ و $ Z $ سه گانه فیثاغور خواهد بود.

پس از داشتن این اعداد ، می توانید Triples را با $ N $ ضرب کنید تا بیشتر سه گانه فیثاغورین بسازید.

لوسی از بلژیک راه حل خود را برای ما ارسال کرد:

فرمول (2n+1) ²+(2n ²+2n) ² = (2n ²+2n+1) ²

I tried it a few times : If n=1 => 3 ² + 4 ² = 5 ² If n=5 =>11 ² + 60 ² = 61

Finding that you need an odd square number as the difference between the two other numbers wasn't so difficult. And then I found that between 4 and 12 there were 8 units, between 12 and 24 there are 12 units, and then 16 units and 20 units and so on. Which meant that the n was multiplied each time with the previous number+2 n=1 was multiplied by 4 to get to 4 n=2 was multiplied by 6 to get to 12 n=3 was multiplied by 8 to get to 24 and so on again. in other words n was multiplied by the odd square number plus one => n(2n+2) =>(2n ²+2n) آخرین شماره فقط یک واحد بیشتر است به طوری که (2n ²+2n+1)

آفرین لوسی! آیا می توانید از نظر جبری نشان دهید که این عبارت همیشه به سه گانه فیثاغور می دهد؟

ما همچنین راه حل هایی از Niharika ، Chuyi و Rajeev دریافت کردیم.

پروژه NRICH هدف از غنی سازی تجربیات ریاضی همه زبان آموزان است. برای حمایت از این هدف ، اعضای تیم NRICH در طیف گسترده ای از ظرفیت ها کار می کنند ، از جمله ارائه پیشرفت حرفه ای برای معلمان که مایل به انجام کارهای ریاضی غنی در تمرین روزمره در کلاس هستند.