خواص مثلث پاسکال

ردیف های صفر تا پنج مثلث پاسکال. این الگوی به بی نهایت ادامه می یابد. دو طرف از 1 پر شده است و با افزودن دو عدد فوق ، تمام شماره های دیگر تولید می شوند.(اعتبار تصویر: رابرت جی کولمن)

مثلث پاسکال یک مثلث بی نظیر بی پایان از اعداد است که از یک قانون اضافه کردن دو شماره فوق برای دریافت شماره زیر پیروی می کند. دو طرف "همه 1" هستند و از آنجا که مثلث بی نهایت است ، "طرف پایین" وجود ندارد.

این نام برای بلیز پاسکال ، ریاضیدان فرانسوی قرن هفدهم که از مثلث در مطالعات خود در تئوری احتمال استفاده می کرد ، نامگذاری شده است. با این حال ، این هزاران سال در سراسر جهان ، به ویژه در هند باستان و چین قرون وسطایی ، و در عصر طلایی اسلام و رنسانس ، که قبل از گسترش در سراسر اروپا آغاز شد ، در سراسر جهان مورد مطالعه قرار گرفته است.

ساده به عنوان این الگوی ، در بسیاری از زمینه های ریاضیات از جمله جبر ، تئوری شماره ، احتمال ، ترکیبات (ریاضیات تنظیمات قابل شمارش) و فراکتال ها ارتباطات شگفت انگیزی دارد. مایکل رز ، در یک ستون "صداهای متخصص" برای علوم زنده در سال 2013 ، ریاضیدانی که در دانشگاه نیوکاسل تحصیل می کند ، بسیاری از الگوهای پنهان در مثلث پاسکال را شرح داد. در این مقاله ، ما به طور خاص به خواص موجود در ریاضیات بالاتر می پردازیم.

ترکیبات

مثلث پاسکال به طور طبیعی از طریق مطالعه ترکیبی بوجود می آید. به عنوان مثال ، تصور کنید که سه رنگ را از یک بسته پنج رنگ نشانگر انتخاب کنید. ترتیب رنگ انتخاب شده برای انتخاب کدام یک از پوستر مهم نیست ، اما برای انتخاب یک رنگ هر یک برای آلیس ، باب و کارول انجام می شود. تعداد تنظیمات احتمالی به شرح زیر نشان داده شده و محاسبه می شود:

• یک رنگ هر یک برای آلیس ، باب و کارول: موردی مانند این که نظم در آن مهم است ، جایگشت نامیده می شود. برای یک مورد با پنج گزینه که در آن سه انتخاب و سفارش داده می شود ، این تعداد مجوزهای احتمالی به صورت 5P3 بیان شده و به عنوان 5!/(5-3) محاسبه می شود!. اپراتور "!"یک فاکتوریل خوانده می شود ، به این معنی که تمام اعداد کمتری را از طریق یک (به عنوان مثال 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1) ضرب کنید) این عبارت برای 5P3 به 5!/2 ساده می شود!= 5 × 4 × 3 = 60
• سه رنگ برای یک پوستر واحد: موردی مانند این که نظم مهم نیست ، ترکیبی نامیده می شود. تعداد ترکیبات ممکن همیشه بخشی از تعداد مجوزهای احتمالی خواهد بود. برای یک مورد با پنج گزینه که سه نفر انتخاب می شوند ، این به صورت 5C3 بیان می شود و به عنوان 5!/[3 محاسبه می شود!(5-3)!] = 5! / (3! × 2!) = 5 × 4 × 3 / (3 × 2 × 1) = 10

این مورد دوم برای مثلث پاسکال قابل توجه است ، زیرا مقادیر را می توان به شرح زیر محاسبه کرد:

تعداد مثلث پاسکال در هنگام مواجهه با انتخاب تعداد R از اشیاء در بین تعداد N گزینه های موجود ، با تعداد ترکیبات احتمالی (NCR) مطابقت دارد.(اعتبار تصویر: رابرت جی کولمن)

از فرآیند تولید مثلث پاسکال ، می بینیم که با افزودن دو عدد فوق می توان هر عدد را تولید کرد. از نظر ریاضی ، این به صورت بیان شده است_nC_r = _n-1C_r-1 + _n-1C_r- این رابطه توسط دانشمندان مختلف ریاضیات در طول تاریخ ذکر شده است.

قضیه دوتایی

Binomial کلمه ای است که در جبر استفاده می شود و تقریباً به معنای "دو چیز اضافه شده به هم" است. قضیه دوتایی به الگوی ضرایب (اعدادی که در مقابل متغیرها ظاهر می شوند) اشاره دارد که وقتی یک دوتایی به خودی خود ضرب می شود ، تعداد مشخصی از بارها نشان می دهد. از نظر ریاضی ، این به صورت (x + y) n نوشته شده است. از مثلث پاسکال می توان برای تعیین الگوی گسترش ضرایب استفاده کرد. چند چند جمله ای گسترش یافته اول در زیر آورده شده است.

با استفاده از نماد جمع بندی ، قضیه دوتایی ممکن است به طور خلاصه به این صورت نوشته شود:

توزیع دوتایی

برای یک فرآیند احتمالی با دو نتیجه (مانند تلنگر سکه) ، توالی نتایج توسط آنچه ریاضیدانان و آمارشناسان از آن به عنوان توزیع دوتایی یاد می کنند ، اداره می شود. این همچنین مربوط به مثلث پاسکال است.

به عنوان مثال برای سه تلنگر سکه ، 2 × 2 × 2 = 8 توالی ممکن/دم ممکن وجود دارد. هنگامی که به گروه هایی از "چند سر (3 ، 2 ، 1 یا 0)" طبقه بندی می شوند ، هر گروه به ترتیب با توالی 1 ، 3 ، 3 و 1 جمع می شود. توجه کنید که چگونه این با ردیف سوم مثلث پاسکال مطابقت دارد. ثابت شده است که این روند برای همه تعداد تلنگر سکه و تمام ردیف های مثلث وجود دارد.

به گفته جورج E. P. جعبه در "آمار برای آزمایش کنندگان (در برگه جدید باز می شود)" (ویلی ، 1978) ، برای تعداد زیادی از سکه های سکه (بالاتر از حدود 20) ، توزیع دوتایی یک تقریب معقول از توزیع عادی است ، یک "حلقه زنگ" اساسیتوزیع مورد استفاده به عنوان پایه و اساس در تجزیه و تحلیل آماری. این تقریب به طور قابل توجهی تجزیه و تحلیل آماری بسیاری از پدیده ها را ساده می کند.

یک نمونه فیزیکی از این تقریب را می توان در یک دستگاه لوبیا مشاهده کرد ، وسیله ای که به طور تصادفی توپ ها را بر اساس نحوه سقوط مثلثی از PEG ها به سطل ها مرتب می کند. از آنجا که یک توپ که به یک میخ ضربه می زند ، احتمال سقوط در سمت چپ یا راست را دارد ، احتمال فرود توپ در تمام راه به سمت چپ (یا راست) پس از عبور تعداد مشخصی از ردیف های گیرها دقیقاً مطابق با احتمال گرفتن همه استسر (یا دم) از همان تعداد تلنگر سکه. پس از جمع آوری تعداد کافی توپ از مثلث با ردیف های N PEG ، نسبت تعداد توپ در هر سطل به احتمال زیاد با ردیف N از مثلث پاسکال مطابقت دارد.

دنباله فیبوناچی

مثلث پاسکال همچنین با تئوری شماره روابط قابل توجهی دارد. مشهودترین اتصال به دنباله فیبوناچی است. اضافه کردن تعداد مثلث پاسکال در امتداد یک مورب خاص ، تعداد دنباله را تولید می کند.

مبالغ در امتداد مورب خاص مثلث پاسکال ، توالی فیبوناچی را تولید می کند.(اعتبار تصویر: رابرت جی کولمن)

دیافراگم

رنگ آمیزی تعداد مثلث پاسکال با تقسیم آنها ، انواع جالبی از فراکتال ها را ایجاد می کند. به طور خاص ، رنگ آمیزی تمام اعداد قابل تقسیم توسط دو (تمام تعداد یکنواخت) مثلث Sierpiński را تولید می کند. به گزارش Wolfram Mathworld ، این الگوهای از قرن سیزدهم در هنر ایتالیایی ظاهر شده است.

برای مثلث پاسکال ، شماره های رنگ آمیزی که توسط مقدار مشخصی قابل تقسیم است ، یک فراکتال ایجاد می کند. مانند مثلث پاسکال ، این الگوهای به بی نهایت ادامه می یابد.(اعتبار تصویر: رابرت جی کولمن)

منابع اضافی

برای بحث بیشتر در مورد مثلث پاسکال ، به:

رابرت کولمن ، دکترا ، معلم و نویسنده علوم آزاد است و در مدیسون ، ویسکانسین مستقر است. او برای Vice ، Discover ، Nautilus ، Live Science و The Daily Beast نوشت. رابرت دکترای خود را برای تبدیل خاک اره در سوخت های بنزین و مواد شیمیایی برای مواد ، دارو ، الکترونیک و کشاورزی گذراند. او از مواد شیمیایی ساخته شده است.