نوسانات هارمونیک ساده

همانطور که در شکل 2a نشان داده شده است ، یک توده M را که در یک موقعیت تعادل توسط چشمه ها قرار دارد ، در نظر بگیرید. ممکن است با جابجایی آن به راست یا چپ ، توده آشفته شود. اگر x جابجایی جرم از تعادل باشد (شکل 2B) ، چشمه ها نیرویی را متناسب با x اعمال می کنند ، به گونه ای که K در جایی که K ثابت باشد که به سفتی چشمه ها بستگی دارد. معادله (10) قانون هوک نامیده می شود ، و این نیرو به عنوان نیروی بهار نامیده می شود. اگر x مثبت باشد (جابجایی به سمت راست) ، نیروی حاصل منفی است (به سمت چپ) و برعکس. به عبارت دیگر ، نیروی بهار همیشه به گونه ای عمل می کند که توده را به سمت موقعیت تعادل خود بازگرداند. علاوه بر این ، این نیرو شتاب در امتداد جهت x داده شده توسط A = D 2 x / dt 2 ایجاد می کند. بنابراین ، قانون دوم نیوتن ، f = ma ، با جایگزینی - kx برای f و d 2 x / dt 2 برای a ، به این پرونده اعمال می شود ، و دادن - kx = m (d 2 x / dt 2). انتقال و تقسیم توسط M معادله را به دست می آورد

معادله (11) مشتق - در این مورد مشتق دوم - از نظر کمیت از نظر کمیت. چنین معادله ای معادله دیفرانسیل نامیده می شود ، به معنای معادله ای که حاوی مشتقات است. بخش عمده ای از کارهای معمولی و روزانه فیزیک نظری شامل حل معادلات دیفرانسیل است. سوال این است که با توجه به معادله (11) ، X چگونه به زمان بستگی دارد؟

پاسخ با تجربه پیشنهاد می شود. اگر جرم جابجا شده و آزاد شود ، در مورد موقعیت تعادل آن به عقب و جلو نوسان می کند. یعنی X باید یک عملکرد نوسان کننده T باشد ، مانند موج سینوسی یا موج کسین. به عنوان مثال ، X ممکن است از رفتاری مانند

معادله (12) رفتار ترسیم شده به صورت گرافیکی در شکل 3 را توصیف می کند. جرم در ابتدا با فاصله x = a جابجا می شود و در زمان t = 0. آزاد می شود. با گذشت زمان ، جرم از a به - a نوسان می کند و دوباره به یک دوباره در زمان رسیدن ω t توسط 2π. این زمان t ، دوره نوسان نامیده می شود ، به طوری که ω t = 2π یا t = 2π/Ω. متقابل دوره یا فرکانس f ، در نوسانات در ثانیه ، توسط f = 1/ t = ω/ 2π داده می شود. مقدار Ω فرکانس زاویه ای نامیده می شود و در رادیان در ثانیه بیان می شود.

انتخاب معادله (12) به عنوان یک نوع رفتار احتمالی که معادله دیفرانسیل را برآورده می کند (11) را می توان با جایگزین کردن آن به معادله (11) آزمایش کرد. اولین مشتق X با توجه به t است

تمایز بار دوم می دهد

معادله (14) همان معادله (11) است

بنابراین ، با توجه به این شرط ، معادله (12) یک راه حل صحیح برای معادله دیفرانسیل است. حدس های صحیح دیگر دیگری نیز وجود دارد (به عنوان مثال ، x = a sin ω t) که فقط در این مورد متفاوت است که آیا جرم در حالت استراحت است یا در حال حرکت در لحظه t = 0 است.

همانطور که نشان داده شده است ، این جرم از A تا - A و دوباره نوسان می کند. سرعت ، معادله (13) ، معادله (13) صفر است ، اما حداکثر بزرگی خود را دارد ، برابر با ω A ، هنگامی که x برابر با صفر است. از نظر جسمی ، پس از جابجایی جرم از تعادل در فاصله A به سمت راست ، نیروی بازگرداندن F توده را به سمت موقعیت تعادل خود سوق می دهد و باعث تسریع در سمت چپ می شود. هنگامی که به تعادل می رسد ، هیچ نیرویی در آن لحظه بر روی آن عمل نمی کند ، اما با سرعت ω A حرکت می کند ، و اینرسی آن را از موقعیت تعادل می گیرد. قبل از اینکه متوقف شود ، به موقعیت می رسد - A ، و تا این زمان نیرویی دوباره روی آن عمل می کند و آن را به سمت تعادل فشار می آورد.

کل فرآیند که به عنوان حرکت هارمونیک ساده شناخته می شود ، خود را بی وقفه با فرکانس داده شده توسط معادله تکرار می کند (15). معادله (15) به این معنی است که هرچه چشمه ها سفت تر شود (یعنی K بزرگتر) ، فرکانس بالاتر (نوسانات سریعتر). بزرگتر کردن جرم دقیقاً اثر متضاد دارد و همه چیز را کاهش می دهد.

یکی از مهمترین ویژگی های حرکت هارمونیک این واقعیت است که فرکانس حرکت ، ω (یا F) فقط به جرم و سفتی چشمه بستگی دارد. این به دامنه A حرکت بستگی ندارد. اگر دامنه افزایش یابد ، جرم سریعتر حرکت می کند ، اما زمان لازم برای یک سفر کامل دور یکسان است. این واقعیت عواقب عمیقی دارد و حاکم بر ماهیت موسیقی و اصل زمان بندی دقیق است.

انرژی بالقوه یک نوسان ساز هارمونیک ، برابر با کار یک عامل بیرونی باید انجام دهد تا جرم را از صفر به x فشار دهد ، u = 1 /₂KX 2. بنابراین ، کل انرژی اولیه در وضعیت توضیح داده شده در بالا 1 / است₂ka 2 ؛و از آنجا که انرژی جنبشی همیشه 1 است /₂MV 2 ، هنگامی که جرم در هر نقطه X در نوسان است ،

معادله (16) دقیقاً نقش نوسان ساز هارمونیک را که معادله (8) برای بدن در حال سقوط انجام می دهد ، ایفا می کند.

کاملاً صحیح است که نوسانات هارمونیک ناشی از اختلال در هر بدن یا ساختار از حالت تعادل مکانیکی پایدار است. برای درک این نکته ، بحث مختصر در مورد ثبات مفید است.

یک کاسه را با یک مرمر که در داخل استراحت می کند در نظر بگیرید ، سپس یک کاسه دوم و معکوس را با یک مرمر متعادل در بالا در نظر بگیرید. در هر دو مورد ، نیروی خالص روی مرمر صفر است. زره ها بنابراین در تعادل مکانیکی قرار دارند. با این حال ، یک اختلال کوچک در موقعیت مرمر متعادل در بالای کاسه معکوس باعث می شود که آن از بین برود و برنگردد. در چنین حالتی گفته می شود که تعادل ناپایدار است. برعکس ، اگر مرمر درون کاسه اول مختل شود ، گرانش عمل می کند تا آن را به سمت پایین کاسه فشار دهد. مرمر داخل کاسه (مانند توده ای که توسط چشمه ها در شکل 2a نگه داشته شده است) نمونه ای از بدن در تعادل پایدار است. اگر کمی مختل شود ، نوسانات هارمونیک را در قسمت پایین کاسه به جای اینکه دور شود ، انجام می دهد.

این استدلال ممکن است با یک استدلال ریاضی ساده تعمیم یابد. یک بدن یا ساختار را در تعادل مکانیکی در نظر بگیرید ، که در صورت اختلال در مقدار کمی x ، نیرویی را پیدا می کند که روی آن عمل می کند که تابعی از x ، f (x) است. برای X کوچک ، چنین عملکردی ممکن است به طور کلی به عنوان یک سری قدرت در x نوشته شود. یعنی ، جایی که f (0) مقدار f (x) است که x = (0) ، و a و b ثابت هستند ، مستقل از x ، که توسط ماهیت سیستم تعیین می شود. این بیانیه که بدن در تعادل مکانیکی است به این معنی است که f (0) = 0 ، به طوری که هیچ نیرویی در هنگام عدم تحمل بر روی بدن عمل نمی کند. از آنجا که x کوچک است ، x 2 بسیار کوچکتر است. بنابراین ، اصطلاح BX 2 و تمام قدرت های بالاتر ممکن است نادیده گرفته شود. این ترک F (x) = تبر. حال اگر A مثبت باشد ، آشفتگی نیرویی را در همان جهت اختلال ایجاد می کند. این موردی بود که مرمر در بالای کاسه معکوس متعادل شد. این تعادل ناپایدار را توصیف می کند. برای اینکه سیستم پایدار باشد ، باید منفی باشد. بنابراین ، اگر a = - k ، جایی که k ثابت است ، معادله (17) f (x) = - kx می شود ، که به سادگی قانون هوک ، معادله (10) است. همانطور که در بالا توضیح داده شد ، هر سیستمی که از قانون هوک پیروی می کند ، یک نوسان ساز هارمونیک است.

کلیت این استدلال دلیل این واقعیت است که نوسانگرهای هارمونیک به وفور در تجربه رایج مشاهده می شوند. به عنوان مثال، هر ساختار صلب در بسیاری از فرکانس های هارمونیک مختلف که مربوط به اعوجاج های احتمالی مختلف شکل تعادل آن است، نوسان می کند. علاوه بر این، موسیقی ممکن است با برهم زدن تعادل سیم یا فیبر کشیده (مانند پیانو و ویولن)، یک غشای کشیده (مثلاً درام)، یا یک نوار سفت (مثلث و زیلوفون) یا با ایجاد مزاحمت ایجاد شود. چگالی یک ستون هوای محصور (مانند ترومپت و اندام). در حالی که سیالی مانند هوا صلب نیست، چگالی آن نمونه ای از یک سیستم پایدار است که از قانون هوک پیروی می کند و بنابراین ممکن است در نوسانات هارمونیک قرار گیرد.

اگر ویژگی کلی نوسانگرهای هارمونیک که فرکانس مستقل از دامنه است، نبود، همه موسیقی ها کاملاً با آنچه هستند متفاوت خواهند بود. بنابراین، سازها بدون توجه به شدت نواختن (دامنه) نت (فرکانس) یکسانی را می دهند، و به همان اندازه مهم است که با از بین رفتن ارتعاشات، همان نت باقی می ماند. همین ویژگی نوسانگرهای هارمونیک، اصل اساسی تمام زمان سنجی دقیق است.

اولین مکانیسم دقیق زمان سنجی، که اصول حرکت آن توسط گالیله کشف شد، آونگ ساده بود (به زیر مراجعه کنید). دقت زمان سنجی مدرن با معرفی کریستال های کوارتز کوچک، که نوسانات هارمونیک آنها سیگنال های الکتریکی تولید می کنند که ممکن است در مدارهای کوچک شده در ساعت ها و ساعت های مچی گنجانده شوند، به طرز چشمگیری بهبود یافته است. همه نوسان سازهای هارمونیک دستگاه های زمان سنجی طبیعی هستند زیرا در فرکانس های طبیعی ذاتی مستقل از دامنه نوسان می کنند. تعداد معینی از چرخه های کامل همیشه با همان زمان سپری شده مطابقت دارد. نوسانگرهای کریستال کوارتز، ساعت های دقیق تری نسبت به آونگ ها می سازند، زیرا در هر ثانیه تعداد دفعات بیشتری نوسان می کنند.

نوسانات میرایی و اجباری

نوسانات هارمونیک ساده که در بالا مورد بحث قرار گرفت ، برای همیشه ، در دامنه ثابت ، نوسان همانطور که در شکل 3 بین A و - A نشان داده شده است. تجربه مشترک نشان می دهد که نوسان سازهای واقعی تا حدودی متفاوت رفتار می کنند. نوسانات هارمونیک با گذشت زمان ، از بین می روند. این رفتار ، با نام میرایی نوسانات ، توسط نیروهایی مانند اصطکاک و ویسکوزیته تولید می شود. این نیروها به طور جمعی به عنوان نیروهای اتساع شناخته می شوند زیرا تمایل دارند انرژی های پتانسیل و جنبشی اجسام ماکروسکوپی را در انرژی حرکت هرج و مرج اتم ها و مولکول های معروف به گرما از بین ببرند.

اصطکاک و ویسکوزیته پدیده های پیچیده ای هستند که اثرات آنها را نمی توان به طور دقیق با یک معادله کلی نشان داد. با این حال ، برای اجسام به آرامی در حال حرکت ، نیروهای متلاشی ممکن است توسط

جایی که V سرعت بدن است و γ یک ضریب ثابت است ، مستقل از مقادیر پویا مانند سرعت یا جابجایی. معادله (18) به راحتی توسط یک استدلال مشابه با آنچه در معادله (17) در بالا اعمال می شود ، درک می شود. ج_دبه عنوان مجموعه ای از قدرت های v یا f نوشته شده است_د(v) = f_د(0) + AV + BV 2 + · · ·. هنگامی که بدن در حالت استراحت است (V = 0) ، هیچ نیروی اتلاف کننده ای پیش بینی نمی شود زیرا اگر یکی وجود داشته باشد ، ممکن است بدن را به حرکت درآورد. بنابراین ، f_د(0) = 0. اصطلاح بعدی باید منفی باشد زیرا نیروهای متلاشی همیشه در برابر حرکت مقاومت می کنند. بنابراین ، a = −γ که در آن γ مثبت است. از آنجا که V 2 بدون در نظر گرفتن جهت حرکت ، علامت یکسانی دارد ، B باید برابر باشد 0 مبادا مبادا مبادا باشد که گاهی اوقات یک نیروی اتلاف را در همان جهت حرکت می کند. اصطلاح بعدی متناسب با V 3 است ، و اگر V به اندازه کافی کوچک باشد ، ممکن است تمام اصطلاحات بعدی مورد غفلت واقع شود. بنابراین ، همانطور که در معادله (17) سری قدرت به یک اصطلاح واحد کاهش می یابد ، در این مورد f_د= −γ v.

برای یافتن تأثیر نیروی اتلاف بر روی یک نوسان ساز هارمونیک ، باید یک معادله دیفرانسیل جدید حل شود. نیروی خالص یا شتاب زمان جرم ، که به صورت MD 2 x / dt 2 نوشته شده است ، برابر با مجموع نیروی قانونی هوک ، - KX و نیروی اتلاف ، −γ V = −γ DX / DT است. تقسیم بر بازده M

راه حل کلی معادله (19) در فرم x = ce −γ t /2 m cos (ω t + θ ارائه شده است₀) ، جایی که c و θ₀ثابت های دلخواه هستند که با شرایط اولیه تعیین می شوند. این حرکت ، برای موردی که در آن θ₀= 0 ، در شکل 4 نشان داده شده است. ASR انتظار داشت ، نوسانات هارمونیک با گذشت زمان از بین می روند. دامنه نوسانات با یک عملکرد کاهش دهنده زمان (منحنی های متراکم) محدود می شود. زمان پوسیدگی مشخصه (پس از آن نوسانات توسط 1 / E کوچکتر است ، جایی که E پایه لگاریتم های طبیعی E = 2. 718 است.) برابر با 2 M / γ است. فراوانی نوسانات توسط

مهمتر اینکه ، این فرکانس با پوسیدگی نوسانات تغییر نمی کند.

معادله (20) نشان می دهد که با انتخاب مناسب γ ، یک نوسان ساز هارمونیک به سیستمی تبدیل می شود که به هیچ وجه نوسان نمی کند - یعنی سیستمی که فرکانس طبیعی آن ω = 0 است. از نظر انتقادی رطوبت داشته باشید. به عنوان مثال ، چشمه هایی که بدن یک اتومبیل را به حالت تعلیق در می آورد ، باعث می شود که یک نوسان ساز هارمونیک طبیعی باشد. کمک فنرهای اتومبیل دستگاههایی هستند که به دنبال اضافه کردن نیروی متلاشی کافی هستند تا مونتاژ را به شدت کمرنگ کند. به این ترتیب ، مسافران پس از هر ضربه ای در جاده ، نیازی به نوسانات بی شماری ندارند.

یک اختلال ساده می تواند یک نوسان ساز هارمونیک را به حرکت درآورد. اختلالات مکرر در صورت اعمال همزمان با فرکانس طبیعی می تواند دامنه نوسانات را افزایش دهد. حتی یک اختلال بسیار کوچک ، که به طور دوره ای فقط در فرکانس مناسب تکرار می شود ، می تواند باعث ایجاد حرکات دامنه بسیار بزرگ شود. این پدیده به عنوان رزونانس شناخته می شود.

نوسانات اجباری به صورت دوره ای ممکن است با اضافه کردن یک اصطلاح فرم a از نظر ریاضی نشان داده شود₀گناه ω t به سمت راست معادله (19). این اصطلاح نیرویی را که در فرکانس Ω اعمال می شود ، با دامنه MA توصیف می کند₀بشرنتیجه استفاده از چنین نیرویی ایجاد نوعی حرکات است که نیازی به پوسیدگی با زمان ندارد ، زیرا انرژی از دست رفته در فرآیندهای اتلاف ، در طول هر چرخه ، توسط نیروی محرکه جایگزین می شود. دامنه حرکت بستگی به این دارد که فرکانس رانندگی Ω چقدر به فرکانس طبیعی ω نزدیک است₀از نوسان سازجالب اینجاست ، حتی اگر اتلاف وجود داشته باشد ، ω₀با معادله (20) آورده نشده است بلکه با معادله (15): ω 2₀= k / m. در نمودار دامنه حرکت حالت پایدار (یعنی مدتها پس از شروع نیروی محرکه) ، حداکثر دامنه همانطور که در ω = Ω انتظار می رود رخ می دهد₀بشرارتفاع و عرض منحنی رزونانس توسط ضریب میرایی γ اداره می شود. اگر نمیرایی وجود نداشت ، حداکثر دامنه بی نهایت خواهد بود. از آنجا که اختلالات کوچک در هر فرکانس ممکن همیشه در دنیای طبیعی وجود دارد ، هر ساختار سفت و سخت در صورت عدم وجود میرایی داخلی ، خود را به قطعات می لرزاند.

تشدید در دنیای تجربه آشنا غیر معمول نیست. به عنوان مثال ، اتومبیل ها غالباً با سرعت خاص موتور غرق می شوند و در هنگام پرواز هواپیما ، پنجره ها گاهی اوقات به هم می ریزند. رزونانس در موسیقی از اهمیت ویژه ای برخوردار است. به عنوان مثال ، جعبه صوتی ویولن در صورتی که دارای فرکانس طبیعی نوسان باشد و به هر نت موسیقی پاسخ دهد ، کار خود را به خوبی انجام می دهد. طنین های بسیار قوی با یادداشت های خاص - "یادداشت های گرگ" توسط موسیقی دانان - در ویولن های ارزان قیمت اتفاق می افتد و باید از آنها اجتناب شود. بعضی اوقات ، ممکن است یک لیوان توسط یک خواننده به دلیل پاسخ رزونانس خود به یک نت خاص موسیقی شکسته شود.< Pan> ارتفاع و عرض منحنی رزونانس توسط ضریب میرایی γ اداره می شود. اگر نمیرایی وجود نداشت ، حداکثر دامنه بی نهایت خواهد بود. از آنجا که اختلالات کوچک در هر فرکانس ممکن همیشه در دنیای طبیعی وجود دارد ، هر ساختار سفت و سخت در صورت عدم وجود میرایی داخلی ، خود را به قطعات می لرزاند.